了解巴特沃斯滤波器的极点和零点

极点和零点

我之前写过一篇关于滤波器理论中的极点和零点的文章，以防您需要对该主题进行更广泛的复习。极点代表导致传递函数的分母等于零的频率，并且它们会导致系统幅度响应的斜率减小。零表示导致传递函数的分子等于零的频率，并且它们会导致系统传递函数的斜率增加。

在本文中，我们将重点关注巴特沃斯低通滤波器，它至少有两个极点且没有零点。（所有低通滤波器在 ω = 无穷大处至少有一个零，但这些不会出现在零极点图中，通常可以忽略。）

绘制极点和零点

有关系统极点和零点的信息可以通过在复平面上标记它们的位置来直观地传达。如果您读过我关于奈奎斯特图或复共轭极点的文章，或者 Sergio Franco 博士关于极点分裂的文章，您就会熟悉零极点图的概念。

下图展示了基本结构。

极点或零点的位置由水平绘制的实部和垂直绘制的虚部确定。极点用 ? 标记，零点用圆圈标记。在上面的示例中，两个极点代表复共轭对，因为它们的实部相等，虚部大小相等但符号相反。

零极点图是传达有关过滤系统的重要信息的一种方便且有效的方法。如下图所示，它指示极点/零频率和 Q 因子：

巴特沃斯拓扑

我在这里使用“拓扑”一词是为了强调这样一个事实：巴特沃斯“滤波器”实际上是一类具有相同一般特性的电路。

与生活中的大多数其他事物一样，您不可能拥有一种在各方面都优于所有其他系统、设备或材料的系统、设备或材料。相反，我们需要权衡：性能与承受能力、耐用性与重量、空闲时间与后台账户余额等等。

巴特沃斯优先级是通带平坦度，这就是将巴特沃斯拓扑的各种实例结合在一起的原因：它们限度地减少了截止频率之前发生的幅度变化量。这与切比雪夫拓扑形成对比，切比雪夫拓扑允许通带纹波，以增加从通带到阻带过渡的陡度。

通带平坦度在下图中很明显，这是四阶巴特沃斯滤波器的幅度响应。

巴特沃斯零极点图

为了实现低通巴特沃斯响应，我们需要创建一个传递函数，其极点排列如下：

这个特殊的滤波器有四个极。其他杆需要遵循相同的模式。

以下要点将帮助您解压缩此图中包含的信息。

低通巴特沃斯零极点图的基本特征是极点具有相等的角间距，并且沿着左半平面中的半圆形路径分布。

圆上的所有点到圆心的距离都相同。因此，原点和每个极点之间的距离相同，这又意味着所有极点具有相同的频率。

两极之间的角度等于 180°/N，其中 N 是滤波器的阶数。在上例中，N = 4，分离角为 180°/4 = 45°。

巴特沃斯极点的等角间距表明偶数阶滤波器将仅具有复共轭极点。奇数阶滤波器具有复共轭极点和一个纯实极点，该极点沿负实轴距原点 ω0 的距离。

所有极点都有相同的[ω_0]，但距原点的水平距离不同。因此，极点具有不同的 Q 因子。