深度讲解DC－DC 升压转换器如何选择电感值

升压拓扑结构在功率电子领域非常重要，但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在 dc - dc 升压转换器中，所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本，并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下，计算电感值以维持所需纹波电流和所选导通模式的方法，并介绍了一种用于计算输入电压上限和下限模式边界的数学方法。

导通模式

升压转换器的导通模式由相对于直流输入电流 (I_IN) 的电感纹波电流峰峰值 (ΔI_L) 的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数 (K_RF)。电感越高，纹波电流和 K_RF 就越低。

  (1) ， 其中    (2)
 
在连续导通模式 (CCM) 中，正常开关周期内，瞬时电感电流不会达到零 (图1)。因此，当 ΔI_L 小于 I_IN 的2倍或 K_RF <2时，CCM 维持不变。MOSFET 或二极管必须以 CCM 导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器，以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当 K_RF > 2 且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时，会出现非连续导通模式 (DCM) (图2)。直到下一个开关周期开始前，电感电流保持为零，二极管和 MOSFET 都不导通。这一非导通时间即称为 tidle。DCM 可提供更低的电感值，并避免输出二极管反向恢复损耗。

图1 – CCM 运行


图2 – DCM 运行

当 K_RF = 2 时，转换器被认为处于临界导通模式 (CrCM) 或边界导通模式 (BCM)。在这种模式下，电感电流在周期结束时达到零，正如 MOSFET 会在下一周期开始时导通。对于需要一定范围输入电压 ( V_IN）的应用，固定频率转换器通常在设计上能够在最大负载的情况下在指定 V_IN 范围内，以所需要的单一导通模式 (CCM 或 DCM) 工作。随着负载减少，CCM 转换器最终将进入 DCM 工作。在给定 V_IN 下，使导通模式发生变化的负载就是临界负载（I_CRIT）。在给定 V_IN 下，引发 CrCM / BCM 的电感值被称为临界电感（L_CRIT），通常发生于最大负载的情况下。

纹波电流与 VIN

众所周知，当输入电压为输出电压 (V_OUT) 的一半时，即占空比 (D) 为50％时 (图3)，在连续导通模式下以固定输出电压工作的 DC－DC 升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示，即设置纹波电流相对于 D 的导数 (切线的斜率) 等于零，并对 D 求解。简单起见，假定转换器能效为100％。
 
根据   (3)、  (4) 和   (5),
 
并通过 CCM 或 CrCM 的电感伏秒平衡  (6),
 
则   (7).
 
将导数设置为零,     (8)
我们就能得出   (9).  

图3 – CCM 中的电感纹波电流

CCM 工作

为了选择 CCM 升压转换器的电感值 (L)，需要选择最高 K_RF 值，确保整个输入电压范围内都能够以 CCM 工作，并避免峰值电流受 MOSFET、二极管和输出电容影响。然后计算得出最小电感值。K_RF 最高值通常选在0.3和0.6之间，但对于 CCM 可以高达2.0。如前所述，当 D = 0.5 时，出现纹波电流 ΔI_L 最大值。那么，多少占空比的情况下会出现 K_RF 最大值呢？我们可以通过派生方法来求得。

假设 η = 100%， 则   (10),  
 
然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:
 
 (11)                          
 
  (12).  
 
对 D 求解，可得  (13).

D = 1 这一伪解可被忽略，因为它在稳态下实际上是不可能出现的 (对于升压转换器，占空比必须小于1.0)。因此，当 D =⅓ 或 V_IN = ⅔V_OUT 时的纹波因数 K_RF 最高，如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值 L_MIN、L_CRIT 和 I_CRIT。

图4 – 当 D =⅓ 时 CCM 纹波系数 K_RF 最高值

对于 CCM 工作，最小电感值 (L_MIN)应在最接近 ⅔ V_OUT 的实际工作输入电压 (V_IN(CCM)) 下进行计算。根据应用的具体输入电压范围，V_IN(CCM) 可能出现在最小 V_IN、最大 V_IN、或其间的某个位置。解方程 (5) 求 L，并根据 V_IN(CCM) 下的 K_RF 重新计算，可得出

  (14)，其中 V_IN(CCM) 为最接近⅔V_OUT 的实际工作 V_IN。  
   
对于临界电感与 V_IN 和 I_OUT 的变化，KRF = 2，可得出
 
  (15).
 
在给定 V_IN 和 L 值的条件下，当 K_RF = 2时，即出现临界负载 (I_CRIT)：
 
  (16)

DCM 工作 

如图5所示，在一定工作 V_IN 和输出电流 (I_OUT) 下的电感值小于 L_CRIT 时，DCM 模式工作保持不变。对于 DCM 转换器，可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为 DCM 工作。tidle 最小值通常为开关周期的3％-5％，但可能会更长，代价是器件峰值电流升高。然后采用 tidle 最小值来计算最大电感值 (L_MAX)。L_MAX 必须低于 V_IN 范围内的最低 L_CRIT。对于给定的 V_IN，电感值等于 L_CRIT (tidle= 0) 时引发 CrCM。

图5 – L_CRIT 与标准化 V_IN 的变化

为计算所选最小空闲时间 (tidle_(min)) 的 L_MAX，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 t_ON(max) (所允许的 MOSFET 导通时间最大值) 与 V_IN 的函数，其中 t_dis 为电感放电时间。
 
  (17)，其中

   (18)
 
可得出
 
  (19).
 
平均 (直流) 电感电流等于转换器直流输入电流，通过重新排列 (17)，可得出 t_dis 相对于 t_ON 的函数。简单起见，我们将再次假设 P_IN = P_OUT。
 
  (20) ，其中  (21).
 
将方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20)，求得 V_IN (DCM) 下的 L
 
  (22).
 
L_MAX 遵循类似于 L_CRIT 的曲线，且同在 V_IN = ⅔V_OUT 时达到峰值。为确保最小 tidle，要计算与此工作点相反的实际工作输入电压 (V_IN (DCM)) 下的最低 L_MAX 值。根据应用的实际输入电压范围，V_IN(DCM) 将等于最小或最大工作 V_IN。若整体输入电压范围高于或低于 ⅔ V_OUT（含⅔ V_OUT），则 V_IN(DCM) 是距 ⅔ V_OUT 最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了 ⅔ V_OUT，则在最小和最大 V_IN 处计算电感，并选择较低 (最差情况下) 的电感值。或者，以图表方式对 V_IN 进行评估，以确定最差情况。

输入电压模式边界 

当升压转换器的输出电流小于 I_CRIT 与 V_IN 的最大值时，如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界，即 I_OUT 大于 I_CRIT 时，则将引发 CCM 工作。而 DCM 工作则发生于两个 V_IN 的模式边界之间，即 I_OUT 小于 I_CRIT 时。要想以图表方式呈现 V_IN下的这些导通模式边界，在相同图表中绘制临界负载 (使用所选电感器) 与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在 X 轴上找到与两条曲线相交的两个 V_IN 值 (图6)。

图6 – 输入电压模式边界

要想以代数方式呈现 V_IN 的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流，以查找交点：
 
  (23).
 
这可以重写为一个三次方程，K_CM 可通过常数计算得出
 
  (24)     其中

  (25).
 
这里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出 [1] [2]。在此情况下，x1 项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量 V_MB。
 
我们知道
 
  (26)、  
    (27)、   以及
  (28),
 
  (29).
 
由于升压转换器的物理限制，任何 V_MB ≤ 0或V_MB > V_OUT 的解均可忽略。两个正解均为模式边界处 V_IN 的有效值。

模式边界 – 设计示例 

我们假设一个具有以下规格的 DCM 升压转换器：
 
V_OUT  = 12 V
I_OUT  = 1 A
L  = 6 μH
F_SW  = 100 kHz
 
首先，通过 (25) 和 (28) 计算得出 K_CM 和 θ：
 

 
.
 
将 V_OUT 和计算所得的 θ 值代入 (29)，得出模式边界处的 V_IN 值：
 
.
 
忽略伪解 (-3.36 V)，我们在 4.95 V 和 10.40 V 得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。

图7 – 计算得出的模式边界

结论

电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。