如何运用波特图来确保电路的稳定性

作者：Bonnie Baker

20 世纪 30 年代，Hendrik Wade Bode 将电路的稳定性作为唯一目标，创造了一种直观的增益/相位方法。这就是现在所说的波特图，一种直观的对电路或放大器增益、相位和反馈系统进行频率图形展示的方法。

鉴于其有用性和重要性，让我们花些时间来了解一下波特稳定性分析技术，看看以分贝 (dB) 和相位响应（度）为单位的开环放大器和电路反馈系数的量级。这篇博客将探讨上述概念并给出建议，并在你的主要目标是频率稳定性时，应如何避免设计出一个“颤抖”电路。

为了练习这种技术，你可以从在线 Digi-Key 创新手册的资源中下载一个可打印的波特图版本。

单极点波特图

单极点电路的配置允许直流 VIN 信号直接进入 VOUT，而在较高的输入频率下，VOUT 等于零分贝 (dB)。波特图的构造很简单。Y 轴的单位是频率的对数，X 轴是线性单位增益分贝或相位度数。在设计波特图时，已经有相当多的公式可以应用，但我们要直接体验这个快速解决方法。

波特图之所以简单性，是因为画图时只需要一个直尺工具并知道一些规则即可（图 1）。

图 1：展示幅度和相移的单极点波特图使用了直线来显示电路的频率和相位响应。（图片来源：Bonnie Baker）

图 1 中的两幅图表示了单极点电阻/电容对的频率相对增益和相位的关系。上下两幅图的 X 轴频率范围为 1 赫兹 (Hz) 到 10 兆赫 (MHz)。上图 Y 轴范围从 0 分贝 (dB) 到 100 dB，其中 1 Hz 的信号值等于 100 dB。这个值与 100,000 x VIN 的增益因子一致。蓝色曲线是在 fP 或 100 Hz 时的单极点增益响应，其中 R 等于 159 千欧 (kΩ)，C 等于 10 纳法拉 (nF)。

当频率增加超过极点频率 (fP) 时，蓝色曲线以 -20dB /十倍频程或 -6dB/八倍频程速率下降。这个衰减率是要记住的第一个波特图的经验法则：电路中的每个极点从极点频率开始都会以 -20dB/十倍频程的速率下降。因此，如果两个极点在相同的频率范围内对 VOUT 进行衰减，则衰减率为-40dB/十倍频程。

图 1 中的下图表示了这个单极点电路的相位。在 1Hz 时，R/C 网络的相位为 0 度 (°)。在 fP 前的一个十倍频程，或者在这个例子中的 10 Hz 情形下，单极点相位开始以 -45°/十倍频程的速度向其 -90° 目标下降。

有几个规则适用于极点的相位响应。极点电路的第二个波特图经验法则是，在 fP 处相位等于 -45°。第三和第四条波特图法则描述了衰减和完成的相位点。单极点相位在极点频率 (fP) 的前一个十倍频程开始下降，并在 fP 的后一个十倍频程最终定在 -90°。

单零点波特图

单零点波德图反映了单极点波德图的相反规则。位置切换，R 和 C 值相同，以阻止直流 VIN 电压，同时允许较高频率通过电容器（图 2）。

图 2：展示幅度和相移的单零点波特图。（图片来源：Bonnie Baker）

当频率增加超过 fZ 时，蓝色曲线以 +20dB/十倍频程的速率上升。图 2 中的下图展示了这个单零点电路的相位。在 fZ 前的一个十倍频程，单零点相位开始以 +45°/十倍频程的速度向其 +90° 的目标上升。在 fZ 处，零点电路相位等于 +45°。

总结一下图 1 中的值，极点位置是 fP，fP 之后的增益幅度有一个 -20dB/十倍频程的斜率。相位通过 fP 时有 -45°/十倍频程的斜率，相位在 0.1x fP 时开始衰减，在 10x fP 时稳定到 -90°。总结一下图 2 中的值，零点位置是 fZ，fZ 之后的增益幅度有一个 +20dB/十倍频程的斜率。相位通过 fZ 时有 +45°/十倍频程的斜率，相位在 0.1x fZ 时开始衰减，在 10x fZ 时稳定到 +90°。

放大器开环波特图

标准运算放大器产品的频率操作从亚赫兹到零 dB 截止频率的传递函数中会有多个极点和零点。放大器波特图没有任何神奇之处，只需遵循规则即可（图 3）。

图3：展示幅度和相移的运算放大器可能波特图。（图片来源：Bonnie Baker）

图 3 展示了一个运算放大器实例，其传递函数中有两个极点（f1 和 f2）。有了这两个极点，增益每次下降 -20dB/十倍频程，相位总共下降 -180 度。

到目前为止，我们对如何构建波特图有了一个良好的开始，但具体落实到实际项目上来时，其中还有一个反馈系统在其中。

闭环放大器系统的稳定性

如果你花点时间看一下运放电路，就会发现反馈网络的存在。经典的运算放大器反馈网络有一个增益正向元件 (AOL(jω)) 和反馈元件 (β(jω))。

图 4：经典运放反馈网络有一个前馈元件 (AOL(jω)) 和反馈元件 (β(jω))。（图片来源：Bonnie Baker）

在图 4 中，运算放大器 (AOL) 的开环增益相对较大，而反馈系数相对较小。这种配置将输出送回反相端，创造了一个负反馈条件，这种反馈使输出受到控制。我们将使用 β 的倒数或 1/β 来确定运放电路的稳定性。

计算 1/β 的最简单方法是在运放的非反相输入端放置一个称为 VSTABILITY 的电压源。这个计算策略将提供一个很好的路径来确定电路的稳定性（图 5）。

图 5：非反相运放电路 a.) 和反相运放电路 b.) 在其非反相输入端都有一个虚构的 VSTABILITY 电压源，以便准确计算电路的 1/β 系数，或噪声增益。（图片来源：Bonnie Baker）

如果你检查图 5 中的电路，就会发现从非反相端到输出端的反馈电路是一样的。VSTABILITY 电压源的位置能够准确计算出电路的 1/β 系数，或噪声增益。

1/β 稳定性分析使用了 VSTABILTIY。如果你假设运放的开环增益是无限的，那么两个电路的传递函数就等于：


等式 1


等式 2


等式 3

当等式 3 的频率成分 jω 等于零时：


等式 4

当等式 3 中 jω 接近无穷大时：


等式 5

1/β 的零点 (fZ) 和极点 (fP) 的频率为：


等式 6


等式 7

符合上述规则的 1/β 的稳定性分析曲线的波特图如图 6 所示。

图6：图 5 a.) 和 b.) 的 1/β 频率响应是相同的。零点出现在较低的频率，而极点则出现在较高的频率。（图片来源：Bonnie Baker）

图 6 描述了运算放大器电路的 1/β 的频率和相位响应或噪声增益。该图以图形形式总结了等式 4 至 7。等式 4 和 5 定义了直流增益和 Y 增益。等式 6 和 7 确定了电路的零点和极点。图 3 和图 6 中的信息通过定义系统的传递函数以及极点和零点的位置，为确立运放电路的稳定性提供了第一步。最后一步是将图 3 和图 6 叠加成一个图形。

系统稳定性的确定

开环和闭环增益的交叉点或截止率定义了电路的相移。一般来说，截止率小于或等于 30 dB 表明电路是稳定的。截止率大于 30dB，就会走向不稳定的电路状态（图 7）。

图 7：叠加的运算放大器的 AOL 增益和相位响应与 1/β 增益和相位响应。（图片来源：Bonnie Baker）

在图 7 中，AOL 和 1/β 增益曲线之间的截止率等于 40 dB。40dB 的截止率表明相移大于 135°，这显示了一个不稳定的电路。在这种配置下，180° 的截止率会产生一个振荡的电路。

对上述问题有许多解决办法。可以通过移动极点和零点频率来改变电阻或电容值。另一个办法是选择不同的运算放大器（图 8）。

图 8：在不改变零点和极点频率的情况下，使用带宽高于图 7 中运算放大器的运算放大器。（图片来源：Bonnie Baker）

在图 8 中，在不改变 1/β 网络的情况下，运算放大器的带宽大约高出两个十倍频程。绿色的虚线反映了实际的计算结果，并提供了一个更真实的波特图。放大器带宽的增加使截止率从 40 dB 变为 20 dB。由此产生的相移现在是 ~105°，表示电路是稳定的。

图 8 中的绿色虚线超越了用尺子和铅笔绘制的波德图，包括了真实世界的响应。

测量电路的增益和相位

测量一个放大器电路的增益和相位需要一个提供输入信号的函数发生器，以及一个网络分析仪（图 9）。代表性的是 Tabor Electronics LS3081B 3 GHz 射频模拟扫频函数发生器。

图 9：图 5 b.) 的反相放大器电路的增益和相位测量配置。（图片来源：Bonnie Baker）

在图 9 中，函数发生器的输入信号的应用发生在端口 1 到 VSTABILITY 节点。信号通过放大器电路传播到电路的输出端 (VOUT)，网络分析仪在端口 2 捕捉到信号并与函数发生器的端口 1 信号进行比较。

结语

当进行稳定型运算放大器电路设计时，波特图是一个非常有用的工具，一定加到你的装备库中。当开始研究多极点和多零点电路时，你就会发现波特图的巨大潜力。通过放大器开环增益和反馈网络之间的截止率，就可以迅速确定电路的稳定性。

虽然这篇博客可以帮助你掌握波特图的使用，展示了在图形纸上简单地使用直尺来估计一阶极点和零点电路的增益与相位的关系，但最好的学习方法还是实践。此外，您可以从在线 Digi-Key 创新手册的资源中下载波特图的可打印版本开始。